# Matrix基础篇


## 目录

- [前言](#qianyan)
- [Matrix简介](#jianjie)
- [Matrix基本原理](#jiben)
- [Matrix复合原理](#fuhe)
- [Matrix方法表](#fangfa)

<p id="qianyan" /> 
## 前言

本文内容偏向理论，和 [画布操作](https://github.com/GcsSloop/AndroidNote/blob/master/CustomView/Advance/%5B3%5DCanvas_Convert.md) 有重叠的部分，本文会让你更加深入的了解其中的原理。

由于Google已经对这一部分已经做了很好的封装，所以跳过本部分对实际开发影响并不会太大，不想深究的粗略浏览即可，下一篇中将会详细讲解Matrix的具体用法和技巧。

******

<p id="jianjie" /> 
## Matrix简介

<p id="gaishu" />
**Matrix是一个矩阵，主要功能是坐标映射，数值转换。**

它看起来大概是下面这样:

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?
$$
\\left [ 
\\begin{matrix} 
MSCALE\\_X & MSKEW\\_X & MTRANS\\_X \\\\
\\\\
MSKEW\\_Y & MSCALE\\_Y & MTRANS\\_Y \\\\
\\\\
MPERSP\\_0 & MPERSP\\_1 & MPERSP\\_2 
\\end{1} 
\\right ] 
$$)

下面我们看一下2D画布中常用的四种操作(translate, scale, rotate, skew)都是由哪些参数控制的。

![](http://ww2.sinaimg.cn/large/005Xtdi2jw1f60gwrhlnyj30c008zdgy.jpg)
![](http://ww2.sinaimg.cn/large/005Xtdi2jw1f633hvklfnj30c008zdge.jpg)

**从上图可以看到最后三个参数是控制透视的，这三个参数主要在3D效果中运用，通常为(0, 0, 1)，不在本篇讨论范围内，暂不过多叙述，会在之后对文章中详述其作用。**

<p id="wujie" /> 
### 常见误解

**1.认为Matrix最下面的一行的三个参数(MPERSP_0、MPERSP_1、MPERSP_2)没有什么太大的作用，在这里只是为了凑数。**

实际上最后一行参数在3D变换中有着至关重要的作用，这一点会在后面中Camera一文中详细介绍。

**2.最后一个参数MPERSP_2被解释为scale**

的确，更改MPERSP_2的值能够达到类似缩放的效果，但这是因为齐次坐标的缘故，并非这个参数的实际功能。

******

<p id="jiben" /> 
## Matrix基本原理

Matrix 是一个矩阵，最根本的作用就是坐标转换，下面我们就看看几种常见变换的原理:

> 我们所用到的变换均属于仿射变换，仿射变换是 线性变换(缩放，旋转，错切) 和 平移变换(平移) 的复合，由于这些概念对于我们作用并不大，此处不过多介绍，有兴趣可自行了解。

基本变换有4种: 平移(translate)、缩放(scale)、旋转(rotate) 和 错切(skew)。

由于我们以下大部分的计算都是基于矩阵乘法规则，如果你已经把线性代数还给了老师，请参考一下这里:
**[维基百科-矩阵乘法](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A9%E9%99%A3%E4%B9%98%E6%B3%95)**

### 1.缩放(Scale)

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?$$ x = k_1 x_0 $$)

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?$$ y = k_2 y_0 $$)


用矩阵表示: 

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?
$$
\\left [ 
\\begin{matrix} 
x\\\\
y\\\\
1
\\end{1} 
\\right ] 
 = 
\\left [ 
\\begin{matrix} 
k_1  &   0   &  0  \\\\
 0   &  k_2  &  0  \\\\
 0   &   0   &  1
\\end{1} 
\\right ] 
\\left [ 
\\begin{matrix} 
x_0 \\\\
y_0 \\\\
1
\\end{1} 
\\right ]
$$)

> 
你可能注意到了，我们坐标多了一个1，这是使用了齐次坐标系的缘故，在数学中我们的点和向量都是这样表示的(x, y)，两者看起来一样，计算机无法区分，为此让计算机也可以区分它们，增加了一个标志位，增加之后看起来是这样: <br/>
>
(x, y, 1) - 点<br/>
(x, y, 0) - 向量<br/>
>
另外，齐次坐标具有等比的性质，(2,3,1)、(4,6,2)...(2N,3N,N)表示的均是(2,3)这一个点。(**将MPERSP_2解释为scale这一误解就源于此**)。

图例：

![](http://ww1.sinaimg.cn/large/005Xtdi2jw1f6cnk02zy9j308c0dwwej.jpg)

### 2.错切(Skew)

错切存在两种特殊错切，水平错切(平行X轴)和垂直错切(平行Y轴)。

#### 水平错切

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?$$ x = x_0 + ky_0 $$)

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?$$ y = y_0 $$)

用矩阵表示:

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?
$$
\\left [ 
\\begin{matrix} 
x\\\\
y\\\\
1
\\end{1} 
\\right ] 
 = 
\\left [ 
\\begin{matrix}  
 1   &  k  &  0 \\\\
 0   &  1   &  0 \\\\
 0   &  0   &  1
\\end{1} 
\\right ] 
\\left [ 
\\begin{matrix} 
x_0\\\\
y_0\\\\
1
\\end{1} 
\\right ]
$$)

图例:

![](http://ww2.sinaimg.cn/large/005Xtdi2jw1f6cniifb0sj308c0dw3yz.jpg)

#### 垂直错切

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?$$ x = x_0 $$)

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?$$ y = kx_0 + y_0 $$)

用矩阵表示:

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?
$$
\\left [ 
\\begin{matrix} 
x\\\\
y\\\\
1
\\end{1} 
\\right ] 
 = 
\\left [ 
\\begin{matrix}  
 1   &  0  &  0 \\\\
 k   &  1   &  0 \\\\
 0   &  0   &  1
\\end{1} 
\\right ] 
\\left [ 
\\begin{matrix} 
x_0\\\\
y_0\\\\
1
\\end{1} 
\\right ]
$$)

图例:

![](http://ww4.sinaimg.cn/large/005Xtdi2jw1f6cnkwyksij308c0dwq3f.jpg)

#### 复合错切

> 水平错切和垂直错切的复合。

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?$$ x = x_0 + k_1 y_0 $$)

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?$$ y = k_2 x_0 + y_0 $$)

用矩阵表示:

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?
$$
\\left [ 
\\begin{matrix} 
x\\\\
y\\\\
1
\\end{1} 
\\right ] 
 = 
\\left [ 
\\begin{matrix}  
 1   &  k_1 &  0 \\\\
 k_2 &  1   &  0 \\\\
 0   &  0   &  1
\\end{1} 
\\right ] 
\\left [ 
\\begin{matrix} 
x_0\\\\
y_0\\\\
1
\\end{1} 
\\right ]
$$)

图例:

![](http://ww3.sinaimg.cn/large/005Xtdi2jw1f6cqdu6olfj308c0dwdgi.jpg)

### 3.旋转(Rotate)

假定一个点 A(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) ,距离原点距离为 r, 与水平轴夹角为 α 度, 绕原点旋转 θ 度, 旋转后为点 B(x, y) 如下:

![](http://latex.codecogs.com/png.latex? $$ x_0 = r \\cdot cos \\alpha $$)

![](http://latex.codecogs.com/png.latex? $$ y_0 = r \\cdot sin \\alpha $$)

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?
$$
x = r \\cdot cos( \\alpha + \\theta) 
= r \\cdot cos \\alpha \\cdot cos \\theta - r \\cdot sin \\alpha \\cdot sin \\theta 
= x_0 \\cdot cos \\theta - y_0 \\cdot sin \\theta
$$)

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?
$$
y = r \\cdot sin( \\alpha + \\theta) 
= r \\cdot sin \\alpha \\cdot cos \\theta + r \\cdot cos \\alpha \\cdot sin \\theta 
= y_0 \\cdot cos \\theta + x_0 \\cdot sin \\theta
$$)

用矩阵表示:

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?
$$
\\left [ 
\\begin{matrix} 
x\\\\
y\\\\
1
\\end{1} 
\\right ] 
 = 
\\left [ 
\\begin{matrix} 
cos(\\theta) & -sin(\\theta) &  0 \\\\
sin(\\theta) & cos(\\theta)  &  0 \\\\
      0      &       0       &  1
\\end{1} 
\\right ] 
 . 
\\left [ 
\\begin{matrix} 
x_0\\\\
y_0\\\\
1
\\end{1} 
\\right ]
$$)

图例:

![](http://ww4.sinaimg.cn/large/005Xtdi2jw1f6cpp174twj308c0dwt8s.jpg)


### 4.平移(Translate)

> 
此处也是使用齐次坐标的优点体现之一，实际上前面的三个操作使用 2x2 的矩阵也能满足需求，但是使用 2x2 的矩阵，无法将平移操作加入其中，而将坐标扩展为齐次坐标后，将矩阵扩展为 3x3 就可以将算法统一，四种算法均可以使用矩阵乘法完成。

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?$$ x = x_0 + \\Delta x $$)

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?$$ y = y_0 + \\Delta y $$)

用矩阵表示:

![](http://latex.codecogs.com/png.latex?
$$
\\left [ 
\\begin{matrix} 
x\\\\
y\\\\
1
\\end{1} 
\\right ] 
 = 
\\left [ 
\\begin{matrix} 
1 & 0 & \\Delta x \\\\
0 & 1 & \\Delta y \\\\
0 & 0 & 1
\\end{1} 
\\right ] 
 . 
\\left [ 
\\begin{matrix} 
x_0\\\\
y_0\\\\
1
\\end{1} 
\\right ]
$$)

图例:

![](http://ww3.sinaimg.cn/large/005Xtdi2jw1f6dqiw20xoj308c0dw0su.jpg)


<p id="fuhe" /> 
## Matrix复合原理

其实Matrix的多种复合操作都是使用矩阵乘法实现的，从原理上理解很简单，但是，使用矩阵乘法也有其弱点，后面的操作可能会影响到前面到操作，所以在构造Matrix时顺序很重要。

我们常用的四大变换操作，每一种操作在Matrix均有三类,前乘(pre)，后乘(post)和设置(set)，可以参见文末对[Matrix方法表](#fangfa)，由于矩阵乘法不满足交换律，所以前乘(pre)，后乘(post)和设置(set)的区别还是很大的。

### 前乘(pre)

前乘相当于矩阵的右乘：
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?$$ M' =  M \\cdot S $$)

> 这表示一个矩阵与一个特殊矩阵前乘后构造出结果矩阵。

### 后乘(post)

前乘相当于矩阵的左乘：
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?$$ M' =  S \\cdot M $$)

> 这表示一个矩阵与一个特殊矩阵后乘后构造出结果矩阵。

### 设置(set)

设置使用的不是矩阵乘法，而是直接覆盖掉原来的数值，所以，使用设置后可能会导致之前的操作失效。

<p id="fangfa" /> 
## Matrix方法表

方法类别   | 相关API                                                 | 摘要
-----------|---------------------------------------------------------|------------------------
基本方法   | equals hashCode toString toShortString                  | 比较、 获取哈希值、 转换为字符串
数值操作   | set reset setValues getValues                           | 设置、 重置、 设置数值、 获取数值
数值计算   | mapPoints mapRadius mapRect mapVectors                  | 计算变换后的数值
设置(set)  | setConcat setRotate setScale setSkew setTranslate       | 设置变换
前乘(pre)  | preConcat preRotate preScale preSkew preTranslate       | 前乘变换
后乘(post) | postConcat postRotate postScale postSkew postTranslate  | 后乘变换
特殊方法   | setPolyToPoly setRectToRect rectStaysRect setSinCos     | 一些特殊操作
矩阵相关   | invert isAffine isIdentity                              | 求逆矩阵、 是否为仿射矩阵、 是否为单位矩阵 ...